第51章音乐与数学51（2 / 2）

从C到C''共间隔十二个半音，称为一个八度。

相差一个八度的两个音频率之比应为1:2，为了确定一个八度范围内各个音的高度（频率）。

历史上有不同的律制，如春秋时期管仲的“三分损益法”、西方毕达哥拉斯的“五度相生律”、文艺复兴之后诞生的“纯律”、明代朱载堉提出并计算的“十二平均律”等等。

不妨设C的频率为1。程序框图为“十二平均律”确定频率的过程，其规定相邻的两个音频率比为2的十二次根，这样C的频率为2，输出的十二个数便是#C，D，#D，E，F，#F，G，#G，A，#A，B，C''的频率。

请根据“五度相生律”确定频率的规则，并确定第十二个数（这个数理论上是降八度的C，但并不等于C的频率1，而是著名的“毕达哥拉斯音差”，保留四位小数），以及输出的前十一个数依次的频率？

呵呵，这华国数学协会这群人出题越来越刁钻了。

牛马的，做个数学题还得懂钢琴，还得懂计算机程序，甚至还得懂历史！

就问你学数学的几个人懂“五度相生律”、“十二平均律”？

音乐特长生也不一定懂吧？

这就是国决，这就是CMO，全中国难度最高的高中数学赛场。（说句实话IMO也不一定比CMO难）

王庭柏不懂音乐，但他知道其他的国决选手很多都多才多艺，毕竟连数学都能学会了，还有什么学不会的呢？

“透过表面看本质，这道题其实与音乐无关，音乐规则只是数字的载体而已，什么“五度相生律”、“十二平均律”也不过是算法而已！”

王庭柏联想到了北大一位王教授的一本教材《音乐与数学》，记得王教授在书上写到：数学与音乐是全宇宙的通用语言。

感性的音乐与理性的数学可谓是两个极端，音乐是作为人类抒发感情、表现感情的一种感性艺术，数学则是一种通过抽象的思辨、严谨的逻辑论证等思维方式构建起的“思维体操”，从表面看二者并没有明显的联系，其实音乐中到处都是数学。

最早揭开音乐与数学的关联这一神秘面纱的，当数2500年前古希腊的著名数学家毕达哥拉斯。

传说毕达哥拉斯路过一家铁匠店发现四个铁匠打铁的声音异常悦耳而开始研究声音。

也就是题目所说的“五度相生律”。

王庭柏动笔画出程序框图，将问题转换为数学的程序题。

根据反复循环的赋值语句a=3a/2可以判断，五度相生律规定了从C开始，相差x个半音的音频率比为3:2。

后面的判断语句是为了把频率超过2的音降一个八度到C~B范围内。

在整个程序的运行过程中，共输出了12个音的频率，而a=a/2共执行了7次，最后输出的是C。这意味着C升高12x个半音，再降低7个八度后会回到C自身，于是12x=7*12，x=7。

从C开始依次找到相差7个半音的音即可。

那么根据程序，直接计算输出的所有数的近似值，然后将它们从小到大排列，也可以将这些近似值与十二平均律的近似值比较来确定每个频率对应的音！

答案呼之欲出！

依据这个程序，王庭柏很快算出了第十二个数为1.0136，并将前十一个数依次的频率写在了答卷上：G，D，A，E，B，#F，#C，#G，#D，#A，F。

“这个第一题啊，乍一看很蛋疼，仔细一品属实没什么难度！甚至还有一点简单。但是这题还是蛮有趣的，难度高的数学题想和别的元素相结合确实不容易。上了高中之后数学的场景题越来越少了。”王庭柏单手转动着笔，庆祝自己成功破解CMO首题。